[P&B] #115 BAEKJOON 11729

백준 11729번 JAVA 하노이 탑 이동 순서

문제 설명

세 개의 장대가 있고 첫 번째 장대에는 반경이 서로 다른 n개의 원판이 쌓여 있다. 각 원판은 반경이 큰 순서대로 쌓여있다. 이제 수도승들이 다음 규칙에 따라 첫 번째 장대에서 세 번째 장대로 옮기려 한다.

1. 한 번에 한 개의 원판만을 다른 탑으로 옮길 수 있다.
2. 쌓아 놓은 원판은 항상 위의 것이 아래의 것보다 작아야 한다.

이 작업을 수행하는데 필요한 이동 순서를 출력하는 프로그램을 작성하라. 단, 이동 횟수는 최소가 되어야 한다.

아래 그림은 원판이 5개인 경우의 예시이다.

 

입력

첫째 줄에 첫 번째 장대에 쌓인 원판의 개수 N (1 ≤ N ≤ 20)이 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 옮긴 횟수 K를 출력한다.

두 번째 줄부터 수행 과정을 출력한다. 두 번째 줄부터 K개의 줄에 걸쳐 두 정수 A B를 빈칸을 사이에 두고 출력하는데, 이는 A번째 탑의 가장 위에 있는 원판을 B번째 탑의 가장 위로 옮긴다는 뜻이다.

 

나의 문제 풀이 코드

import java.util.*;
import java.io.*;
public class bj11729 {
    static BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        Scanner in = new Scanner(System.in);

        int N = in.nextInt();

        bw.write((int) (Math.pow(2, N) - 1) + "\n");

        Hanoi(N, 1, 2, 3);
        bw.flush();
        bw.close();

    }
	/*
		N : 원판의 개수
		start : 출발지
		mid : 옮기기 위해 이동해야 장소
		to : 목적지
	 */

    public static void Hanoi(int N, int start, int mid, int to) throws IOException {
        // 이동할 원반의 수가 1개라면?
        if (N == 1) {
            bw.write(start + " " + to + "\n");
            return;
        }

        // A -> C로 옮긴다고 가정할 떄,
        // STEP 1 : N-1개를 A에서 B로 이동 (= start 지점의 N-1개의 원판을 mid 지점으로 옮긴다.)
        Hanoi(N - 1, start, to, mid);

        // STEP 2 : 1개를 A에서 C로 이동 (= start 지점의 N번째 원판을 to지점으로 옮긴다.)
        bw.write(start + " " + to + "\n");

        // STEP 3 : N-1개를 B에서 C로 이동 (= mid 지점의 N-1개의 원판을 to 지점으로 옮긴다.)
        Hanoi(N - 1, mid, start, to);

    }
}

 

문제 풀이 코멘트

먼저 옮긴 횟수를 구하는 공식은 2^N - 1입니다.

• 1개의 원반을 옮기는 경우에는 단순히 출발지에서 목적지로 한 번 이동하면 됩니다. 즉, 횟수 = 2^1 - 1 = 1 - 1 = 0 입니다.
• 2개의 원반을 옮기는 경우에는 아래와 같은 과정이 필요합니다.
  1개의 원반을 보조 기둥으로 이동 -> 1개의 원반을 목적 기둥으로 이동 ->보조 기둥에 있는 원반을 목적 기둥으로 이동
  따라서 횟수 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 입니다.
• 3개의 원반을 옮기는 경우에는 2개의 원반을 보조 기둥으로 이동하고, 1개의 원반을 목적 기둥으로 이동한 다음, 다시 2개의 원반을 보조 기둥에서 목적 기둥으로 이동해야 합니다. 
  따라서 횟수 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 입니다.

이러한 패턴은 계속해서 반복되기 때문에 각 추가 원반을 옮기기 위해 2^(N-1)번의 이동이 필요하며, 하노이 탑 문제에서 최소 움직임 횟수를 나타내는 공식은 2^N - 1의 형태로 표현됩니다.

 

다음은 수행 과정을 구하는 과정을 설명해보겠습니다.

하노이 탑 문제는 원반을 세 개의 기둥(A, B, C) 중 하나에서 다른 곳으로 최소한의 움직임으로 옮기는 문제로, 재귀 알고리즘을 사용하여 풀 수 있습니다.

재귀 함수의 종료 조건은 N이 1인 경우입니다. 원판이 하나 남았을 때, 그 원판을 출발지(start)에서 목적지(to)로 이동합니다.
그 외의 경우에는 재귀적으로 아래의 단계를 수행해야 합니다.

• Hanoi(N - 1, start, to, mid)
  N-1개의 원판을 start에서 mid로 이동합니다. 이것은 재귀 호출을 통해 이루어집니다. 즉, 1번 기둥에서 2번 기둥으로 N-1개의 원판을 옮기는 문제로 작은 부분 문제로 분할됩니다.
• bw.write(start + " " + to + "\n")
  1번 기둥에서 N번째 원판을 3번 기둥으로 직접 이동합니다. 이동한 과정을 출력합니다.
• Hanoi(N - 1, mid, start, to)
  N-1개의 원판을 2번 기둥에서 3번 기둥으로 이동합니다. 이 역시 재귀 호출을 사용하여 작은 부분 문제로 나눠져 해결됩니다.

이러한 재귀 호출과 분할 정복을 통해, 모든 원판을 출발지에서 목적지로 옮길 수 있습니다. 각 단계마다 start, mid, to를 올바르게 조정하여 원하는 위치로 원판을 옮길 수 있습니다.